23. Решите систему неравенств

Решение:

Система неравенств:

\( \begin{cases} \frac{2-x}{2+(3-x)^2} \ge 0 \\ 6-9x \le 31-4x \end{cases} \)

Решим первое неравенство:

\( \frac{2-x}{2+(3-x)^2} \ge 0 \)

Знаменатель \( 2+(3-x)^2 \) всегда положителен, так как \( (3-x)^2 \ge 0 \), следовательно \( 2+(3-x)^2 \ge 2 \).

Поэтому неравенство сводится к:

\( 2-x \ge 0 \)

\( 2 \ge x \)

\( x \le 2 \)

Решим второе неравенство:

\( 6-9x \le 31-4x \)

\( -9x + 4x \le 31 - 6 \)

\( -5x \le 25 \)

Разделим на \( -5 \) и сменим знак неравенства:

\( x \ge -5 \)

Объединим решения обоих неравенств:

Нам нужно найти \( x \) такие, что \( x \le 2 \) И \( x \ge -5 \).

Пересечение этих интервалов:

\( -5 \le x \le 2 \)

Ответ: \( x \in [-5; 2] \).