19. Решите неравенство

Решение:

Неравенство:

\( (x-4)^2 < \sqrt{3}(x-4) \)

Перенесем все в одну сторону:

\( (x-4)^2 - \sqrt{3}(x-4) < 0 \)

Вынесем общий множитель \( (x-4) \):

\( (x-4) [ (x-4) - \sqrt{3} ] < 0 \)

\( (x-4) (x - 4 - \sqrt{3}) < 0 \)

Найдем корни уравнения \( (x-4)(x - 4 - \sqrt{3}) = 0 \):

\( x - 4 = 0 \) → \( x_1 = 4 \)

\( x - 4 - \sqrt{3} = 0 \) → \( x_2 = 4 + \sqrt{3} \)

Получим интервалы: \( (-\infty; 4) \), \( (4; 4 + \sqrt{3}) \), \( (4 + \sqrt{3}; +\infty) \).

Проверим знаки произведения \( (x-4)(x - 4 - \sqrt{3}) \) на интервалах:

• На \( (-\infty; 4) \): возьмем \( x = 0 \). \( (0-4)(0-4-\sqrt{3}) = (-4)(-4-\sqrt{3}) = (+) \)
• На \( (4; 4 + \sqrt{3}) \): возьмем \( x = 4.5 \) (так как \( \sqrt{3} \approx 1.73 \), \( 4 + \sqrt{3} \approx 5.73 \)). \( (4.5-4)(4.5-4-\sqrt{3}) = (0.5)(0.5-\sqrt{3}) = (-) \)
• На \( (4 + \sqrt{3}; +\infty) \): возьмем \( x = 6 \). \( (6-4)(6-4-\sqrt{3}) = (2)(2-\sqrt{3}) = (+) \)

Нам нужно, чтобы произведение было меньше нуля.

Ответ: \( x \in (4; 4 + \sqrt{3}) \).