1824. В треугольнике АВС AC = BC, AB = 102, высота СН равна 51 √3. Найдите угол С. Ответ дайте в градусах.

В равнобедренном треугольнике ABC (AC = BC) высота CH, проведённая к основанию AB, является также медианой и биссектрисой. Значит, AH = HB = \( \frac{102}{2} = 51 \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник AHC. Гипотенуза AC = \( \sqrt{AH^2 + CH^2} = \sqrt{51^2 + (51\sqrt{3})^2} = \sqrt{51^2 + 51^2 \cdot 3} = \sqrt{51^2(1+3)} = \sqrt{51^2 \cdot 4} = 51 \cdot 2 = 102 \).

В треугольнике AHC:

\( \text{tg} A = \frac{CH}{AH} = \frac{51\sqrt{3}}{51} = \sqrt{3} \).

Отсюда \( \angle A = 60^{\circ} \).

Так как треугольник ABC равнобедренный, \( \angle B = \angle A = 60^{\circ} \).

\( \angle C = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 60^{\circ}) = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ} \).

Ответ: 60