3. Найдите значение выражения \(2 \cos^2 x + \sin x + 1 = 0\).

Решение:

1. Используем основное тригонометрическое тождество: \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\).
2. Подставляем в уравнение:\[ 2(1 - \sin^2 x) + \sin x + 1 = 0 \]
3. Раскрываем скобки и приводим подобные:\[ 2 - 2\sin^2 x + \sin x + 1 = 0 \]
4. Приводим к стандартному виду квадратного уравнения относительно \(\sin x\):\[ -2\sin^2 x + \sin x + 3 = 0 \]
5. Умножаем на -1 для удобства:\[ 2\sin^2 x - \sin x - 3 = 0 \]
6. Пусть \(y = \sin x\):\[ 2y^2 - y - 3 = 0 \]
7. Решаем квадратное уравнение (через дискриминант):\[ D = (-1)^2 - 4(2)(-3) = 1 + 24 = 25 \]
8. Находим корни:\[ y_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 5}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \]
9. Так как \(\sin x\) не может быть больше 1, то \(y_1 = 3/2\) не подходит.
10. Находим второй корень:\[ y_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 5}{4} = \frac{-4}{4} = -1 \]
11. Находим \(x\) из условия \(\sin x = -1\):\[ x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \[ x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]