6. Найдите корень уравнения \(4 \sin x \cos x = \cos^2 x - \sin^2 x\).

Решение:

1. Перенесем все члены уравнения в одну сторону:\[ 4 \sin x \cos x - \cos^2 x + \sin^2 x = 0 \]
2. Вспомним формулы двойного угла:\[ \sin(2x) = 2 \sin x \cos x \] (значит, \(4 \sin x \cos x = 2 \sin(2x)\))
3. \[ \cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x \]
4. Подставим формулы двойного угла в уравнение:\[ 2 \sin(2x) - \cos(2x) = 0 \]
5. Перенесем \(\cos(2x)\) в правую часть:\[ 2 \sin(2x) = \cos(2x) \]
6. Разделим обе части на \(\cos(2x)\) (при условии, что \(\cos(2x)
   eq 0\)):\[ \frac{2 \sin(2x)}{\cos(2x)} = 1 \]
7. Получаем:\[ 2 \operatorname{tg}(2x) = 1 \]
8. Отсюда:\[ \operatorname{tg}(2x) = \frac{1}{2} \]
9. Находим \(2x\):\[ 2x = \operatorname{arctg}\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]
10. Находим \(x\):\[ x = \frac{1}{2} \operatorname{arctg}\left(\frac{1}{2}\right) + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z} \]
11. Проверим, не равно ли \(\cos(2x)\) нулю. Если \(\cos(2x) = 0\), то \(2x = \frac{\pi}{2} + \pi k\), \(\sin(2x) = \pm 1\). Подставим в \(2 \sin(2x) = \cos(2x)\): \(2(\pm 1) = 0\), что неверно. Значит, \(\cos(2x)
    eq 0\) и деление было корректным.

Ответ: \[ x = \frac{1}{2} \operatorname{arctg}\left(\frac{1}{2}\right) + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z} \]