9. Решите неравенство \((5-x)(x-7)(x-9)^2 \ge 0\).

Решение:

Это неравенство вида $$f(x) > 0$$. Для его решения используем метод интервалов.

1. Найдем корни каждого множителя:
   • \(5 - x = 0 → x = 5\)
   • \(x - 7 = 0 → x = 7\)
   • \((x - 9)^2 = 0 → x = 9\)
2. Отметим корни на числовой прямой: 5, 7, 9.
3. Определим знаки каждого интервала:
   • Интервал (9; +∞): Возьмем \(x = 10\). \((5-10)(10-7)(10-9)^2 = (-5)(3)(1)^2 = -45\) (отрицательный).
   • Интервал (7; 9): Возьмем \(x = 8\). \((5-8)(8-7)(8-9)^2 = (-3)(1)(-1)^2 = -3\) (отрицательный).
   • Интервал (5; 7): Возьмем \(x = 6\). \((5-6)(6-7)(6-9)^2 = (-1)(-1)(-3)^2 = 1 · 9 = 9\) (положительный).
   • Интервал (-∞; 5): Возьмем \(x = 0\). \((5-0)(0-7)(0-9)^2 = (5)(-7)(-9)^2 = -35 · 81 = -2835\) (отрицательный).
4. Заметим, что множитель \((x-9)^2\) всегда неотрицателен. При \(x = 9\) он равен 0, что удовлетворяет неравенству \(\ge 0\). При \(x
   eq 9\) он положительный, и знак всего выражения определяется знаками \((5-x)\) и \((x-7)\).
5. Учитывая, что нам нужно \(\ge 0\), выбираем интервалы, где знак '+', и точки, где выражение равно 0.
   • Интервал (5; 7) дает положительное значение.
   • Точки \(x = 5\) и \(x = 7\) делают выражение равным 0.
   • Точка \(x = 9\) также делает выражение равным 0.
6. Объединяем полученные интервалы и точки: \(x \in [5; 7] \cup \{9\}\)

Ответ: \[ [5; 7] \cup \{9\} \]