34. Сумма первого и четвёртого членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 54, сумма второго и третьего членов равна 36. Найдите сумму этой прогрессии.

Имеем \(b_1(1+q^3)=54\) и \(b_1q(1+q)=36\).

Делим первое равенство на второе: \(\dfrac{1+q^3}{q(1+q)}=\dfrac32\). После сокращения \(\dfrac{1-q+q^2}{q}=\dfrac32\).

Получаем \(2q^2-5q+2=0\), откуда \(q=\dfrac12\) или \(q=2\). Так как прогрессия убывающая, \(q=\dfrac12\).

\(b_1\left(1+\dfrac18\right)=54\), поэтому \(b_1=48\).

\(S_\infty=\dfrac{b_1}{1-q}=\dfrac{48}{1/2}=96\).

Ответ: 96.