9. Найдите sin(a + π/6), если cosa = 1/2, 3π/2 < α < 2π.

Краткая запись:

• Дано: \( \cos \alpha = \frac{1}{2} \), \( \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi \)
• Найти: \( \sin(\alpha + \frac{\pi}{6}) \)

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Найдем \( \sin \alpha \). Так как \( \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi \) (четвертая четверть), синус отрицателен. \( \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - (\frac{1}{2})^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \). Следовательно, \( \sin \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2} \).
2. Шаг 2: Используем формулу синуса суммы: \( \sin(\alpha + \frac{\pi}{6}) = \sin \alpha \cos \frac{\pi}{6} + \cos \alpha \sin \frac{\pi}{6} \).
3. Шаг 3: Подставим известные значения: \( \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \) и \( \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \).
4. Шаг 4: Вычислим: \( \sin(\alpha + \frac{\pi}{6}) = (-\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{3}{4} + \frac{1}{4} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2} \).

Ответ: -\(\frac{1}{2}\)