Нужно образовать притяжательный падеж, чтобы показать, что гнездо принадлежит птице.
A nest for a bird = A bird's nest
В английском языке притяжательный падеж образуется с помощью добавления 's к существительному, обозначающему владельца.
В данном случае, правильный вариант: A bird's nest.
Ответ: A bird's nest