45) (q²⁰ⁿ : q⁰) / (q¹³ⁿ : q⁸ⁿ ⋅ q¹¹ⁿ) =

Сначала упростим числитель, используя свойство деления степеней с одинаковым основанием: $$a^m : a^n = a^{m-n}$$.

В числителе: $$q^{20n} : q^0 = q^{20n-0} = q^{20n}$$

Теперь упростим знаменатель, используя свойство деления степеней с одинаковым основанием: $$a^m : a^n = a^{m-n}$$.

В знаменателе: $$q^{13n} : q^{8n} \cdot q^{11n} = q^{13n-8n} \cdot q^{11n} = q^{5n} \cdot q^{11n}$$

Теперь упростим знаменатель, используя свойство степеней с одинаковым основанием: $$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$.

В знаменателе: $$q^{5n} \cdot q^{11n} = q^{5n+11n} = q^{16n}$$

Теперь разделим числитель на знаменатель, используя свойство деления степеней с одинаковым основанием: $$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$$.

В нашем случае: $$\frac{q^{20n}}{q^{16n}} = q^{20n-16n} = q^{4n}$$

Ответ: q⁴ⁿ