Разложить на множители: (a + 7)^3 - 8

Решение:

Это разность кубов, так как \( 8 = 2^3 \). Формула разности кубов: \( x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2) \).

В нашем случае \( x = (a + 7) \) и \( y = 2 \).

1. Подставим в формулу:

\[ ((a + 7) - 2)((a + 7)^2 + (a + 7) \cdot 2 + 2^2) \]

2. Упростим первую скобку:

\[ (a + 7 - 2) = (a + 5) \]

3. Раскроем квадрат во второй скобке:

\[ (a + 7)^2 = a^2 + 2(a)(7) + 7^2 = a^2 + 14a + 49 \]

4. Раскроем произведение во второй скобке:

\[ (a + 7) \cdot 2 = 2a + 14 \]

5. Вычислим квадрат второго члена:

\[ 2^2 = 4 \]

6. Соберем всё вместе во второй скобке:

\[ (a^2 + 14a + 49) + (2a + 14) + 4 = a^2 + 14a + 2a + 49 + 14 + 4 = a^2 + 16a + 67 \]

7. Объединим обе части:

\[ (a + 5)(a^2 + 16a + 67) \]

Ответ: (a + 5)(a^2 + 16a + 67)