Решить уравнения: (2x - 3)^2 - 36 = 0

Решение:

Это уравнение можно решить двумя способами.

Способ 1: Раскрытие скобок.

1. Раскроем квадрат разности:

\[ (2x)^2 - 2(2x)(3) + 3^2 - 36 = 0 \]

\[ 4x^2 - 12x + 9 - 36 = 0 \]

\[ 4x^2 - 12x - 27 = 0 \]

2. Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4(4)(-27) = 144 + 432 = 576 \]

\[ \sqrt{D} = \sqrt{576} = 24 \]

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 + 24}{2 \cdot 4} = \frac{36}{8} = \frac{9}{2} = 4.5 \]

\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 - 24}{2 \cdot 4} = \frac{-12}{8} = -\frac{3}{2} = -1.5 \]

Способ 2: Разность квадратов.

Заметим, что \( 36 = 6^2 \). Тогда уравнение можно записать как:

\[ (2x - 3)^2 - 6^2 = 0 \]

Используем формулу разности квадратов \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \):

\[ ((2x - 3) - 6)((2x - 3) + 6) = 0 \]

\[ (2x - 9)(2x + 3) = 0 \]

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

1. \( 2x - 9 = 0 \Rightarrow 2x = 9 \Rightarrow x = \frac{9}{2} = 4.5 \)
2. \( 2x + 3 = 0 \Rightarrow 2x = -3 \Rightarrow x = -\frac{3}{2} = -1.5 \)

Оба способа дают одинаковые корни.

Ответ: x₁ = 4.5, x₂ = -1.5.