Точки А, B, C, D середины сторон некоторой трапеции. Докажите, что если ABCD - ромб, то эта трапеция равнобедренная.

Доказательство:

• Пусть \( EF \) — средняя линия трапеции \( KLMN \), где \( K, L, M, N \) — вершины трапеции, а \( E \) и \( F \) — середины боковых сторон \( KL \) и \( MN \) соответственно.
• Точки \( A, B, C, D \) — середины сторон трапеции, и \( ABCD \) — ромб. Тогда \( AB = BC = CD = DA \).
• Средняя линия трапеции параллельна основаниям \( KN \) и \( LM \).
• Пусть \( H \) и \( G \) — середины оснований \( KN \) и \( LM \) соответственно. Тогда \( HG \) — тоже средняя линия трапеции.
• Если \( ABCD \) — ромб, то диагонали ромба перпендикулярны и являются биссектрисами его углов. Следовательно, \( AC \) перпендикулярна \( BD \).
• Т.к. \( A, B, C, D \) — середины сторон трапеции, то они лежат на средних линиях трапеции. Значит, \( AC \) и \( BD \) являются отрезками средних линий трапеции.
• Т.к. \( AC \) перпендикулярна \( BD \), то средние линии трапеции перпендикулярны. Это возможно только в том случае, если трапеция равнобедренная.