Вариант 1, Задание 5: Докажите, что значение выражения \(\frac{1}{2√3+1}\) - \(\frac{1}{2√3-1}\) есть число рациональное.

Чтобы доказать, что значение выражения \(\frac{1}{2√3+1}\) - \(\frac{1}{2√3-1}\) является рациональным числом, сначала приведем дроби к общему знаменателю.

\(\frac{1}{2√3+1}\) - \(\frac{1}{2√3-1}\) = \(\frac{1*(2√3-1)}{(2√3+1)(2√3-1)}\) - \(\frac{1*(2√3+1)}{(2√3-1)(2√3+1)}\)

Теперь вычислим знаменатель, используя формулу разности квадратов (a+b)(a-b) = a²-b²:
(2√3+1)(2√3-1) = (2√3)² - 1² = 4*3 - 1 = 12 - 1 = 11

Теперь перепишем выражение с общим знаменателем:
\(\frac{2√3-1 - (2√3+1)}{11}\) = \(\frac{2√3 -1 - 2√3 - 1}{11}\)

Теперь упростим числитель:
\(\frac{-2}{11}\)

Полученное число является рациональным, так как -2 и 11 целые числа.

Итоговый ответ: \(\frac{-2}{11}\), это рациональное число.