Вариант 1, Задание 6: При каких значениях a дробь \(\frac{\sqrt{a}-√5}{a-5}\) принимает наибольшее значение?

Чтобы найти наибольшее значение дроби \(\frac{\sqrt{a}-√5}{a-5}\), перепишем знаменатель как разность квадратов:

a - 5 = (√a)² - (√5)² = (√a - √5)(√a + √5)

Теперь перепишем дробь:
\(\frac{\sqrt{a}-√5}{(√a - √5)(√a + √5)}\)

Сократим на (√a - √5):
\(\frac{1}{√a + √5}\)

Чтобы дробь приняла наибольшее значение, знаменатель должен быть наименьшим. Поскольку √5 - постоянная величина, наименьшее значение √a будет, когда а стремится к 0. Но учитывая, что корень должен быть положительным, a должно быть больше или равно 0. Если а=5, то знаменатель становится равным 2√5. Если a = 0, то знаменатель равен √5. Знаменатель будет наименьшим когда a = 5. Но при a = 5 у нас будет деление на ноль. Значит при а близким к 5, но не равном ему. Но в задании спрашивают наибольшее, а не наименьшее значение знаменателя. Наибольшее значение будет когда a -> 0. Но так как под корнем не может быть отрицательного числа и при а=5 дробь не имеет смысла, то логично, что наибольшее значение будет при а -> 0. Тогда дробь принимает значение \(\frac{1}{√5}\)

Итоговый ответ: Дробь \(\frac{\sqrt{a}-√5}{a-5}\) принимает наибольшее значение при a, стремящимся к 0.