14) \(\frac{1}{6} + \frac{2}{7} + \frac{2}{3x^2}\)

Решение:

Чтобы сложить три дроби \( \frac{1}{6} \), \( \frac{2}{7} \) и \( \frac{2}{3x^2} \), найдем общий знаменатель. Наименьшее общее кратное чисел 6 и 7 равно 42. Общий знаменатель для всех трех дробей будет \( 42 \cdot 3x^2 \), что равно \( 126x^2 \), или мы можем найти общий знаменатель для чисел, а потом умножить на \( 3x^2 \). Наименьший общий знаменатель для 6, 7 и 3 — это 42.

1. Общий знаменатель для дробей \( \frac{1}{6} \), \( \frac{2}{7} \), \( \frac{2}{3x^2} \) будет \( 42 \cdot 3x^2 = 126x^2 \). Или, можно взять \( 42 \cdot 3x^2 \) как общий знаменатель. Или, наименьший общий знаменатель для чисел 6, 7, 3 — это 42, поэтому общий знаменатель будет \( 42x^2 \).
2. Приведем первую дробь \( \frac{1}{6} \) к знаменателю \( 42x^2 \): \( \frac{1 \cdot 7x^2}{6 \cdot 7x^2} = \frac{7x^2}{42x^2} \).
3. Приведем вторую дробь \( \frac{2}{7} \) к знаменателю \( 42x^2 \): \( \frac{2 \cdot 6x^2}{7 \cdot 6x^2} = \frac{12x^2}{42x^2} \).
4. Приведем третью дробь \( \frac{2}{3x^2} \) к знаменателю \( 42x^2 \): \( \frac{2 \cdot 14}{3x^2 \cdot 14} = \frac{28}{42x^2} \).
5. Сложим полученные дроби: \( \frac{7x^2}{42x^2} + \frac{12x^2}{42x^2} + \frac{28}{42x^2} = \frac{7x^2+12x^2+28}{42x^2} = \frac{19x^2+28}{42x^2} \).

Выражение определено при \( x \neq 0 \).

Ответ: \( \frac{19x^2+28}{42x^2} \), при \( x \neq 0 \).