8) \(\frac{16}{x^2+3} + \frac{1}{5}\) 3 \( x^2 \neq -6 \)

Решение:

Чтобы сложить дроби \( \frac{16}{x^2+3} \) и \( \frac{1}{5} \), найдем общий знаменатель, который равен \( 5(x^2+3) \).

1. Приведем первую дробь к общему знаменателю: \( \frac{16}{x^2+3} = \frac{16 \cdot 5}{(x^2+3) \cdot 5} = \frac{80}{5(x^2+3)} \).
2. Приведем вторую дробь к общему знаменателю: \( \frac{1}{5} = \frac{1 \cdot (x^2+3)}{5 \cdot (x^2+3)} = \frac{x^2+3}{5(x^2+3)} \).
3. Сложим полученные дроби: \( \frac{80}{5(x^2+3)} + \frac{x^2+3}{5(x^2+3)} = \frac{80 + x^2 + 3}{5(x^2+3)} = \frac{x^2+83}{5(x^2+3)} \).

Условие \( x^2+3 \neq 0 \) всегда выполняется для любого действительного \( x \), так как \( x^2 \ge 0 \), следовательно \( x^2+3 \ge 3 \). Условие \( 3 \times^2 \neq -6 \) также выполняется, так как \( x^2 \ge 0 \), и \( 3x^2 \ge 0 \).

Ответ: \( \frac{x^2+83}{5(x^2+3)} \).