4) \(\frac{1}{x} + \frac{1}{x+1}\) x ≠ 0 x+1 ≠ 0

Решение:

Для сложения дробей \( \frac{1}{x} \) и \( \frac{1}{x+1} \) найдем общий знаменатель, который будет равен произведению знаменателей \( x(x+1) \).

1. Приведем первую дробь к общему знаменателю: \( \frac{1}{x} = \frac{1 \cdot (x+1)}{x \cdot (x+1)} = \frac{x+1}{x(x+1)} \).
2. Приведем вторую дробь к общему знаменателю: \( \frac{1}{x+1} = \frac{1 \cdot x}{(x+1) \cdot x} = \frac{x}{x(x+1)} \).
3. Сложим полученные дроби: \( \frac{x+1}{x(x+1)} + \frac{x}{x(x+1)} = \frac{x+1+x}{x(x+1)} = \frac{2x+1}{x(x+1)} \).

Условие \( x \neq 0 \) и \( x+1 \neq 0 \) означает, что \( x \neq 0 \) и \( x \neq -1 \).

Ответ: \( \frac{2x+1}{x(x+1)} \), при \( x \neq 0 \) и \( x \neq -1 \).