140. Найдите наименьшую высоту треугольника со сторонами 13 см, 20 см и 21 см.

Наименьшая высота проведена к наибольшей стороне, то есть к стороне 21 см: при одной и той же площади высота обратно пропорциональна основанию.

Полупериметр: \(s=\frac{13+20+21}{2}=27\).

По формуле Герона площадь равна \(S=\sqrt{27\cdot14\cdot7\cdot6}=126\text{ см}^2\).

Тогда высота к стороне 21 см: \(h=\frac{2S}{21}=\frac{252}{21}=12\text{ см}\).

Ответ: 12 см.