15. Высота ВН ромба ABCD делит его сторону AD на отрезки АН =21 и HD=54. Найдите площадь ромба.

Решение:

Сторона ромба \( AD = AH + HD = 21 + 54 = 75 \).

Высота ромба \( BH \) является катетом прямоугольного треугольника ABH. Гипотенуза этого треугольника — сторона ромба AB, которая равна AD = 75.

По теореме Пифагора найдём высоту BH:

\( BH^2 + AH^2 = AB^2 \)

\( BH^2 + 21^2 = 75^2 \)

\( BH^2 + 441 = 5625 \)

\( BH^2 = 5625 - 441 = 5184 \)

\( BH = \sqrt{5184} = 72 \).

Площадь ромба равна произведению стороны на высоту: \( S = AD \cdot BH \).

\( S = 75 \cdot 72 = 5400 \).

Ответ: 5400.