19. Основания равнобедренной трапеции равны 5 и 15, а ее боковые стороны равны 13. Найдите площадь трапеции.

Решение:

Площадь трапеции находится по формуле \( S = \frac{a+b}{2} \cdot h \).

Основания трапеции \( a = 5 \) и \( b = 15 \).

Чтобы найти высоту \( h \), проведём из вершин верхнего основания перпендикуляры к нижнему основанию. Получится прямоугольный треугольник, у которого один катет — это высота \( h \), гипотенуза — боковая сторона \( l = 13 \), а другой катет равен \( \frac{b-a}{2} = \frac{15-5}{2} = 5 \).

По теореме Пифагора найдём высоту \( h \):

\( h^2 + 5^2 = 13^2 \)

\( h^2 + 25 = 169 \)

\( h^2 = 169 - 25 = 144 \)

\( h = \sqrt{144} = 12 \).

Теперь найдём площадь трапеции: \( S = \frac{5+15}{2} \cdot 12 = \frac{20}{2} \cdot 12 = 10 \cdot 12 = 120 \).

Ответ: 120.