8. Сторона ромба равна 7, а расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до неё равно 3. Найдите площадь ромба.

Решение:

Точка пересечения диагоналей ромба является серединой каждой диагонали. Расстояние от точки пересечения диагоналей до стороны ромба — это высота треугольника, образованного стороной ромба и половинами диагоналей.

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей: \( S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \).

Рассмотрим один из четырёх равных прямоугольных треугольников, на которые диагонали делят ромб. Сторона ромба \( a = 7 \) является гипотенузой этого треугольника.

Расстояние от точки пересечения диагоналей до стороны ромба (высота этого треугольника, проведённая к гипотенузе) равно 3.

Площадь этого треугольника равна \( S_{тр} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 3 = 10.5 \).

Площадь всего ромба в 4 раза больше площади этого треугольника: \( S_{ромба} = 4 \cdot S_{тр} = 4 \cdot 10.5 = 42 \).

Ответ: 42.