5. В равнобедренной трапеции основания равны 3 и 9, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь трапеции.

Решение:

Площадь трапеции находится по формуле \( S = \frac{a+b}{2} \cdot h \).

Основания трапеции \( a = 3 \) и \( b = 9 \).

Чтобы найти высоту \( h \), проведём из вершин верхнего основания перпендикуляры к нижнему основанию. Получится прямоугольный треугольник, у которого один катет — это высота \( h \), а другой катет равен \( \frac{b-a}{2} = \frac{9-3}{2} = 3 \). Угол при основании равен \( 45° \).

В таком прямоугольном треугольнике \( \text{tg}(45°) = \frac{h}{3} \).

Так как \( \text{tg}(45°) = 1 \), то \( h = 3 \).

Теперь найдём площадь трапеции: \( S = \frac{3+9}{2} \cdot 3 = \frac{12}{2} \cdot 3 = 6 \cdot 3 = 18 \).

Ответ: 18.