18. В треугольнике АВС угол С равен 45°, АВ=8√2. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Решение:

По теореме синусов для треугольника, вписанного в окружность:

\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R \]

где \( a, b, c \) — стороны треугольника, \( A, B, C \) — противолежащие углы, \( R \) — радиус описанной окружности.

В нашем случае \( c = AB = 8\sqrt{2} \) и \( C = \angle C = 45^{\circ} \).

Используем соотношение:

\[ \frac{AB}{\sin C} = 2R \]

\[ \frac{8\sqrt{2}}{\sin 45^{\circ}} = 2R \]

Знаем, что \( \sin 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2} \).

\[ \frac{8\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 2R \]

\[ 8\sqrt{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 2R \]

\[ 16 = 2R \]

\[ R = \frac{16}{2} = 8 \]

Ответ: 8.