18. В треугольнике АВС угол С равен 45°, АВ=8√2. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Решение:

Для любого треугольника радиус описанной окружности \( R \) можно найти по теореме синусов:

• \( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R \)

В данном случае нам известна сторона \( c = AB = 8\sqrt{2} \) и противолежащий угол \( \angle C = 45° \).

Используем часть формулы \( \frac{c}{\sin C} = 2R \):

• \( \frac{8\sqrt{2}}{\sin 45°} = 2R \)

Значение \( \sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2} \).

• \( \frac{8\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 2R \)
• \( 8\sqrt{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 2R \)
• \( 8 \cdot 2 = 2R \)
• \( 16 = 2R \)
• \( R = \frac{16}{2} = 8 \)

Ответ: 8.