5. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол АВС равен 54°, угол CAD равен 41°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Вписанный четырёхугольник обладает свойством, что сумма противоположных углов равна 180°.

• \( \angle ABC + \angle ADC = 180° \)
• \( 54° + \angle ADC = 180° \)
• \( \angle ADC = 180° - 54° = 126° \)

Угол ADC состоит из углов ADB и BDC:

• \( \angle ADC = \angle ADB + \angle BDC \)
• \( 126° = \angle ADB + \angle BDC \)

Углы, опирающиеся на одну дугу, равны:

• Угол ABD опирается на дугу AD. Угол ACD также опирается на дугу AD. Значит, \( \angle ABD = \angle ACD \).
• Угол CAD опирается на дугу CD. Угол CBD также опирается на дугу CD. Значит, \( \angle CBD = \angle CAD = 41° \).

Угол ABC состоит из углов ABD и CBD:

• \( \angle ABC = \angle ABD + \angle CBD \)
• \( 54° = \angle ABD + 41° \)
• \( \angle ABD = 54° - 41° \)
• \( \angle ABD = 13° \)

Ответ: 13.