216. Биссектрисы треугольника АВС пересекаются в точке О. Прямая MO перпендикулярна плоскости треугольника. Точка М равноудалена от вершин треугольника. Докажите. что треугольник АВС - равносторонний.

Чтобы доказать, что треугольник ABC равносторонний, если биссектрисы пересекаются в точке O, прямая MO перпендикулярна плоскости треугольника, и точка M равноудалена от вершин треугольника, нужно показать, что все стороны треугольника равны.

1. Точка M равноудалена от вершин треугольника ABC, то есть MA = MB = MC.
2. Прямая MO перпендикулярна плоскости треугольника ABC. Следовательно, MO перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, в частности, MO перпендикулярна AO, BO и CO.
3. Рассмотрим прямоугольные треугольники MOA, MOB и MOC. У них MO - общий катет, и MA = MB = MC (по условию). Значит, эти треугольники равны по гипотенузе и катету.
4. Из равенства треугольников MOA, MOB и MOC следует, что AO = BO = CO.
5. Точка O является точкой пересечения биссектрис треугольника ABC, и AO = BO = CO. Это означает, что точка O является центром описанной окружности треугольника ABC, и эта окружность касается всех трех сторон треугольника в одной точке.
6. Так как AO = BO = CO, точка O равноудалена от вершин треугольника. Следовательно, O - центр описанной окружности, и радиусы этой окружности, проведенные к вершинам, равны.
7. Если центр описанной окружности равноудален от всех вершин, то треугольник ABC - равносторонний.

Ответ: доказано, что треугольник ABC - равносторонний.