223. Сторона ромба равна 6 см. а острый угол – 30°. Через вершину острого угла проведена плоскость, параллельная меньшей диагонали ромба, на расстоянии 4 см от нее. Найдите проекции диагоналей на эту плоскость.

Пусть ABCD - ромб, AB = 6 см, ∠BAD = 30°. Через вершину A проведена плоскость α, параллельная меньшей диагонали BD, на расстоянии 4 см от нее. Нужно найти проекции диагоналей AC и BD на плоскость α.

1. В ромбе углы, прилежащие к одной стороне, в сумме дают 180°. ∠ABC = 180° - ∠BAD = 180° - 30° = 150°.
2. В ромбе против большего угла лежит большая диагональ. Так как ∠ABC > ∠BAD, AC > BD. Значит, BD - меньшая диагональ.
3. Проекция BD на плоскость α, параллельную BD, равна длине самой диагонали BD.
4. Чтобы найти BD, рассмотрим треугольник ABD. По теореме косинусов, BD² = AB² + AD² - 2 * AB * AD * cos(30°) = 6² + 6² - 2 * 6 * 6 * (√3/2) = 36 + 36 - 36√3 = 72 - 36√3 = 36(2 - √3), BD = √(36(2 - √3)) = 6√(2 - √3) см.
5. Проекция AC на плоскость α, параллельную BD, будет равна 0, так как A лежит в плоскости α, а AC перпендикулярна BD.

Ответ: проекция BD равна $$6\sqrt{2-\sqrt{3}}$$, проекция AC равна 0.