230. Через вершину С равнобедренного треугольника АВС к его плос- кости проведен перпендикуляр FC (рис. 126). Найдите расстояние от точки F до прямой АВ, если АС = BC = m. ∠ACB=a, FC = b.

Дано: треугольник ABC равнобедренный, AC = BC = m, ∠ACB = α. FC перпендикулярна плоскости треугольника ABC, FC = b. Нужно найти расстояние от точки F до прямой AB.

1. Пусть D - середина AB. Тогда CD - высота и медиана в равнобедренном треугольнике ABC. Расстояние от точки F до прямой AB будет FD.
2. Рассмотрим треугольник ABC. ∠ACB = α. Тогда ∠CAB = ∠CBA = (180° - α) / 2 = 90° - α/2.
3. По теореме косинусов, AB² = AC² + BC² - 2 * AC * BC * cos(α) = m² + m² - 2 * m * m * cos(α) = 2m² - 2m² * cos(α) = 2m²(1 - cos(α)). AB = √(2m²(1 - cos(α))) = m√(2(1 - cos(α))).
4. Рассмотрим треугольник CDB. BC = m, BD = AB/2 = (m√(2(1 - cos(α)))) / 2 = (m/2)√(2(1 - cos(α))). CD = BC * sin(∠CBA) = m * sin(90° - α/2) = m * cos(α/2).
5. Так как FC перпендикулярна плоскости ABC, FC перпендикулярна CD. Рассмотрим треугольник FCD. FC = b, CD = m * cos(α/2). FD² = FC² + CD² = b² + (m * cos(α/2))² = b² + m² * cos²(α/2). FD = √(b² + m² * cos²(α/2)).

Ответ: $$FD = \sqrt{b^2 + m^2 \cdot \cos^2(\alpha/2)}$$