219. Из точки, не принадлежащей плоскости, проведены к ней две наклонные, длины проекций которых равны 12 см и 16 см, а сумма длин наклонных - 56 см. Найдите длины наклонных.

Пусть из точки A, не принадлежащей плоскости α, проведены две наклонные AB и AC к этой плоскости. Проекции этих наклонных на плоскость равны соответственно 12 см и 16 см. Пусть проекции наклонных - OB и OC, то есть OB = 12 см и OC = 16 см. Сумма длин наклонных равна 56 см, то есть AB + AC = 56 см. Нужно найти AB и AC.

1. Пусть длина наклонной AB = x. Тогда длина наклонной AC = 56 - x.
2. Пусть AO - перпендикуляр к плоскости α. Рассмотрим прямоугольные треугольники AOB и AOC.
3. В треугольнике AOB: AB² = AO² + OB², x² = AO² + 12². В треугольнике AOC: AC² = AO² + OC², (56 - x)² = AO² + 16².
4. Выразим AO² из обоих уравнений: AO² = x² - 12² = x² - 144, AO² = (56 - x)² - 16² = (56 - x)² - 256.
5. Приравняем выражения для AO²: x² - 144 = (56 - x)² - 256, x² - 144 = 3136 - 112x + x² - 256, x² - 144 = x² - 112x + 2880, 112x = 2880 + 144, 112x = 3024, x = 3024 / 112 = 27.
6. Следовательно, AB = 27 см, AC = 56 - 27 = 29 см.

Ответ: длины наклонных равны 27 см и 29 см.