225. Ha рисунке 123 изображен куб ABCDABCD. Докажите, что прямые В₁O и АС перпендикулярны.

Чтобы доказать, что прямые B₁O и AC перпендикулярны, где O - центр грани ABCD куба ABCDA₁B₁C₁D₁, нужно показать, что их скалярное произведение равно нулю или что угол между ними равен 90°.

1. Пусть сторона куба равна a. Введем систему координат с началом в точке A, осью x вдоль AB, осью y вдоль AD и осью z вдоль AA₁. Тогда координаты точек: A(0, 0, 0), B(a, 0, 0), C(a, a, 0), D(0, a, 0), A₁(0, 0, a), B₁(a, 0, a), C₁(a, a, a), D₁(0, a, a).
2. Точка O - центр квадрата ABCD, поэтому O имеет координаты (a/2, a/2, 0).
3. Найдем координаты вектора B₁O: B₁O = (a/2 - a, a/2 - 0, 0 - a) = (-a/2, a/2, -a).
4. Найдем координаты вектора AC: AC = (a - 0, a - 0, 0 - 0) = (a, a, 0).
5. Найдем скалярное произведение векторов B₁O и AC: B₁O · AC = (-a/2) * a + (a/2) * a + (-a) * 0 = -a²/2 + a²/2 + 0 = 0.
6. Так как скалярное произведение векторов B₁O и AC равно нулю, эти векторы перпендикулярны. Следовательно, прямые B₁O и AC перпендикулярны.

Ответ: доказано, что прямые B₁O и AC перпендикулярны.