221. Из данной точки к плоскости проведены две равные наклонные, угол между которыми 60°, а их проекции перпендикулярны. Найдите длины наклонных, если расстояние от данной точки до плоскости равно 4 см.

Пусть из точки A к плоскости α проведены две равные наклонные AB и AC, AB = AC. Угол между наклонными ∠BAC = 60°. Проекции наклонных OB и OC перпендикулярны, OB ⊥ OC. Расстояние от точки A до плоскости α равно AO = 4 см. Нужно найти AB и AC.

1. Так как OB ⊥ OC, треугольник BOC прямоугольный. Пусть OB = OC = x.
2. Рассмотрим треугольник BOC. BC² = OB² + OC² = x² + x² = 2x², BC = √(2x²)= x√2.
3. Рассмотрим треугольник ABC. AB = AC, ∠BAC = 60°. Значит, треугольник ABC равносторонний, AB = AC = BC. Тогда AB = x√2.
4. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABO. AB² = AO² + OB², (x√2)² = 4² + x², 2x² = 16 + x², x² = 16, x = √16 = 4.
5. Тогда AB = x√2 = 4√2 см.

Ответ: $$AB = AC = 4\sqrt{2}$$ см.