220. Два отрезка длиной 10 см и 17 см упираются своими концами в параллельные плоскости. Найдите расстояние между этими плоскостями, если сумма проекций этих отрезков на одну из плоскостей равна 21 см.

Пусть даны два отрезка AB и CD, AB = 10 см, CD = 17 см. Отрезки упираются своими концами в параллельные плоскости α и β. Пусть A и C лежат в плоскости α, а B и D лежат в плоскости β. Нужно найти расстояние между плоскостями, то есть длину перпендикуляра между плоскостями. Пусть проекции отрезков на плоскость α равны AB' и CD' соответственно, и AB' + CD' = 21 см.

1. Пусть расстояние между плоскостями равно h. Пусть проекция AB на плоскость α равна x, а проекция CD на плоскость α равна y. Тогда x + y = 21 см.
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABB', где AB = 10 см, AB' = x, BB' = h. По теореме Пифагора, AB² = AB'² + BB'², 10² = x² + h², h² = 100 - x².
3. Рассмотрим прямоугольный треугольник CDD', где CD = 17 см, CD' = y, DD' = h. По теореме Пифагора, CD² = CD'² + DD'², 17² = y² + h², h² = 289 - y².
4. Приравняем выражения для h²: 100 - x² = 289 - y², y² - x² = 289 - 100, y² - x² = 189.
5. Так как x + y = 21, y = 21 - x. Подставим в уравнение y² - x² = 189: (21 - x)² - x² = 189, 441 - 42x + x² - x² = 189, 441 - 42x = 189, 42x = 441 - 189, 42x = 252, x = 252 / 42 = 6.
6. Тогда y = 21 - 6 = 15.
7. Подставим x = 6 в уравнение h² = 100 - x²: h² = 100 - 6² = 100 - 36 = 64, h = √64 = 8.

Ответ: расстояние между плоскостями равно 8 см.