217. Точка К находится на расстоянии 17 см от вершин квадрата и на расстоянии 8 см от его плоскости. Найдите сторону квадрата.

Пусть ABCD - квадрат, K - точка, равноудаленная от вершин квадрата, O - центр квадрата (точка пересечения диагоналей). Расстояние от K до плоскости квадрата равно KO = 8 см. Расстояние от K до каждой вершины квадрата равно 17 см (KA = KB = KC = KD = 17 см). Нужно найти сторону квадрата.

1. Так как KA = KB = KC = KD, точка K проецируется в центр квадрата O. Рассмотрим прямоугольный треугольник KОA. В этом треугольнике KA - гипотенуза, KO - катет (расстояние от точки K до плоскости квадрата), OA - катет (половина диагонали квадрата).
2. По теореме Пифагора, KA² = KO² + OA². Подставим известные значения: 17² = 8² + OA², 289 = 64 + OA², OA² = 289 - 64, OA² = 225, OA = √225 = 15 см.
3. OA - это половина диагонали квадрата, поэтому полная диагональ AC = 2 × OA = 2 × 15 = 30 см.
4. Пусть сторона квадрата равна a. В квадрате диагональ связана со стороной соотношением AC = a√2. Тогда a√2 = 30, a = 30 / √2.
5. Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на √2: a = (30√2) / 2 = 15√2 см.

Ответ: сторона квадрата равна $$15\sqrt{2}$$ см.