229. Через вершину В треугольника АВС к его плоскости проведен перпендикуляр МВ. Прямая, проходящая через точку М и середину АС, делит угол АМС пополам. Докажите, что треугольник АВС - равнобедренный.

Пусть дан треугольник ABC. Через вершину B к его плоскости проведен перпендикуляр MB. Прямая, проходящая через точку M и середину AC (пусть это точка D), делит угол AMC пополам. Нужно доказать, что треугольник ABC равнобедренный, то есть AB = BC.

1. Пусть MD - биссектриса угла AMC, D - середина AC, то есть AD = DC.
2. Рассмотрим треугольники AMD и CMD. MD - общая сторона, AD = DC, ∠AMD = ∠CMD (так как MD - биссектриса угла AMC). Следовательно, треугольники AMD и CMD равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
3. Из равенства треугольников AMD и CMD следует, что AM = CM.
4. Так как MB перпендикулярна плоскости ABC, MB перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, в частности MB перпендикулярна AB и BC. Следовательно, треугольники MBA и MBC прямоугольные.
5. Рассмотрим треугольники MBA и MBC. MB - общая сторона, AM = CM. Следовательно, треугольники MBA и MBC равны по гипотенузе и катету.
6. Из равенства треугольников MBA и MBC следует, что AB = BC.

Ответ: доказано, что треугольник ABC - равнобедренный.