8. \( \cos{\varphi} = \frac{5}{13} \). Радиус описанной окружности R = 26. Найдите x.

Используем теорему синусов: \( \frac{x}{\sin{\varphi}} = 2R \). Нам нужно найти \( \sin{\varphi} \). Зная, что \( \cos{\varphi} = \frac{5}{13} \), используем основное тригонометрическое тождество \( \sin^2{\varphi} + \cos^2{\varphi} = 1 \). \( \sin^2{\varphi} = 1 - \cos^2{\varphi} = 1 - \left(\frac{5}{13}\right)^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{169 - 25}{169} = \frac{144}{169} \). \( \sin{\varphi} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13} \). Теперь подставим в теорему синусов: \( \frac{x}{\frac{12}{13}} = 2 \cdot 26 \). \( x = \frac{12}{13} \cdot 52 = 12 \cdot 4 = 48 \).