14. Найдите значение \(4\cos{\beta}\).

По теореме косинусов, для угла \( \beta \): \( b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos{\beta} \). Подставим известные значения: \( 100^2 = 140^2 + 160^2 - 2 \cdot 140 \cdot 160 \cos{\beta} \). \( 10000 = 19600 + 25600 - 44800 \cos{\beta} \). \( 10000 = 45200 - 44800 \cos{\beta} \). \( 44800 \cos{\beta} = 45200 - 10000 = 35200 \). \( \cos{\beta} = \frac{35200}{44800} = \frac{352}{448} = \frac{11}{14} \). Тогда \( 4 \cos{\beta} = 4 \cdot \frac{11}{14} = \frac{44}{14} = \frac{22}{7} \).