19. Найдите наибольшую высоту треугольника со сторонами 4, 13, 15.

Сначала найдем площадь треугольника, используя формулу Герона: \( p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{4 + 13 + 15}{2} = \frac{32}{2} = 16 \) \( S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{16(16-4)(16-13)(16-15)} = \sqrt{16 \cdot 12 \cdot 3 \cdot 1} = \sqrt{16 \cdot 36} = 4 \cdot 6 = 24 \) Теперь найдем наибольшую высоту. Наибольшая высота опущена на наименьшую сторону. \( S = \frac{1}{2}ah \), где a - сторона, h - высота, опущенная на эту сторону. Наименьшая сторона равна 4. \( 24 = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot h \) \( 24 = 2h \) \( h = 12 \)