20. Найдите среднюю по величине высоту треугольника со сторонами 13, 14, 15.

Сначала найдем площадь треугольника, используя формулу Герона: \( p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{13 + 14 + 15}{2} = \frac{42}{2} = 21 \) \( S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{3 \cdot 7 \cdot 2^3 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 3} = \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 4 \cdot 21 = 84 \) Теперь найдем высоты. \( S = \frac{1}{2}ah \), где a - сторона, h - высота, опущенная на эту сторону. Высота к стороне 13: \( 84 = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot h_1 \), \( h_1 = \frac{168}{13} \approx 12.92 \) Высота к стороне 14: \( 84 = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot h_2 \), \( h_2 = \frac{168}{14} = 12 \) Высота к стороне 15: \( 84 = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot h_3 \), \( h_3 = \frac{168}{15} = \frac{56}{5} = 11.2 \) Средняя по величине высота равна 12.