Тема «Действия со степенями» 1. Найдите значение выражения $$\frac{a^{-2}}{\sqrt[3]{a^7} \cdot a^{-4}}$$ при $$a = 81$$.

Решение:

1. Дано:

   • \[ \frac{a^{-2}}{\sqrt[3]{a^7} \cdot a^{-4}} \]
   • $$a = 81$$

   Упростим выражение:

   • \[ \frac{a^{-2}}{a^{\frac{7}{3}} \cdot a^{-4}} = \frac{a^{-2}}{a^{\frac{7}{3} - 4}} = \frac{a^{-2}}{a^{\frac{7}{3} - \frac{12}{3}}} = \frac{a^{-2}}{a^{-\frac{5}{3}}} \]
   • \[ a^{-2 - (-\frac{5}{3})} = a^{-2 + \frac{5}{3}} = a^{-\frac{6}{3} + \frac{5}{3}} = a^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{a}} \]

   Подставим значение $$a = 81$$:

   • \[ \frac{1}{\sqrt[3]{81}} = \frac{1}{\sqrt[3]{27 \cdot 3}} = \frac{1}{3\sqrt[3]{3}} \]
   • \[ \frac{1}{3\sqrt[3]{3}} \cdot \frac{\sqrt[3]{3^2}}{\sqrt[3]{3^2}} = \frac{\sqrt[3]{9}}{3 \cdot 3} = \frac{\sqrt[3]{9}}{9} \]

   Ответ: $$\frac{\sqrt[3]{9}}{9}$$