Тема «Логарифмы» 6. $$\log_2(x) + \log_2(x-7) = 3$$

Решение:

1. Дано:

   • \[ \log_2(x) + \log_2(x-7) = 3 \]

   ОДЗ: $$x > 0$$ и $$x-7 > 0$$, следовательно $$x > 7$$.

   Применим свойства логарифмов: $$\log_b(x) + \log_b(y) = \log_b(x \cdot y)$$

   • \[ \log_2(x(x-7)) = 3 \]

   Перейдем от логарифмического уравнения к показательному:

   • \[ x(x-7) = 2^3 \]
   • \[ x^2 - 7x = 8 \]
   • \[ x^2 - 7x - 8 = 0 \]

   Решим квадратное уравнение (через дискриминант или теорему Виета):

   • $$D = (-7)^2 - 4(1)(-8) = 49 + 32 = 81$$
   • $$x_1 = \frac{7 + \sqrt{81}}{2} = \frac{7+9}{2} = \frac{16}{2} = 8$$
   • $$x_2 = \frac{7 - \sqrt{81}}{2} = \frac{7-9}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$

   Учитываем ОДЗ ($$x > 7$$): $$x=8$$ подходит, $$x=-1$$ не подходит.

   Ответ: 8