Вариант 1, задача 4: В треугольнике ABC угол C равен 90°, угол A равен 30°, AB = 36√3. Найдите высоту CH.

Площадь прямоугольного треугольника можно найти как половину произведения катетов, так и как половину произведения гипотенузы на высоту, проведенную к гипотенузе. Сначала найдем катет BC: (BC = \frac{1}{2}AB = \frac{36\sqrt{3}}{2} = 18\sqrt{3}). Потом найдем катет AC: (AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{(36\sqrt{3})^2 - (18\sqrt{3})^2} = \sqrt{3888 - 972} = \sqrt{2916} = 54). Площадь треугольника: (S = \frac{1}{2}AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 54 \cdot 18\sqrt{3} = 486\sqrt{3}). Высота CH: (CH = \frac{2S}{AB} = \frac{2 \cdot 486\sqrt{3}}{36\sqrt{3}} = \frac{972\sqrt{3}}{36\sqrt{3}} = 27). Ответ: CH = 27.