Вариант 2, задача 4: В треугольнике ABC угол C равен 90°, угол A равен 30°, AB = 90√3. Найдите высоту CH.

Площадь прямоугольного треугольника можно найти как половину произведения катетов, так и как половину произведения гипотенузы на высоту, проведенную к гипотенузе. Сначала найдем катет BC: (BC = \frac{1}{2}AB = \frac{90\sqrt{3}}{2} = 45\sqrt{3}). Потом найдем катет AC: (AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{(90\sqrt{3})^2 - (45\sqrt{3})^2} = \sqrt{24300 - 6075} = \sqrt{18225} = 135). Площадь треугольника: (S = \frac{1}{2}AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 135 \cdot 45\sqrt{3} = 3037.5\sqrt{3}). Высота CH: (CH = \frac{2S}{AB} = \frac{2 \cdot 3037.5\sqrt{3}}{90\sqrt{3}} = \frac{6075\sqrt{3}}{90\sqrt{3}} = 67.5). Ответ: CH = 67.5.