Вариант 3, задача 4: В треугольнике ABC угол C равен 90°, угол A равен 30°, AB = 40√3. Найдите высоту CH.

Площадь прямоугольного треугольника можно найти как половину произведения катетов, так и как половину произведения гипотенузы на высоту, проведенную к гипотенузе. Сначала найдем катет BC: (BC = \frac{1}{2}AB = \frac{40\sqrt{3}}{2} = 20\sqrt{3}). Потом найдем катет AC: (AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{(40\sqrt{3})^2 - (20\sqrt{3})^2} = \sqrt{4800 - 1200} = \sqrt{3600} = 60). Площадь треугольника: (S = \frac{1}{2}AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 60 \cdot 20\sqrt{3} = 600\sqrt{3}). Высота CH: (CH = \frac{2S}{AB} = \frac{2 \cdot 600\sqrt{3}}{40\sqrt{3}} = \frac{1200\sqrt{3}}{40\sqrt{3}} = 30). Ответ: CH = 30.