20. Найдите точку максимума функции y = 9x² – x³.

Для нахождения точки максимума функции $$y = 9x^2 - x^3$$ нужно найти первую производную функции, приравнять ее к нулю и решить полученное уравнение.

1. Находим производную:

\[ y' = (9x^2 - x^3)' = 18x - 3x^2 \]

2. Приравниваем производную к нулю:

\[ 18x - 3x^2 = 0 \]

\[ 3x(6 - x) = 0 \]

Отсюда получаем два критических значения x:

\[ x_1 = 0 \]

\[ x_2 = 6 \]

3. Определяем, какая из точек является точкой максимума. Для этого можно использовать вторую производную или исследовать знак первой производной.

Метод второй производной:

Находим вторую производную:

\[ y'' = (18x - 3x^2)' = 18 - 6x \]

Проверяем знаки второй производной в критических точках:

\[ y''(0) = 18 - 6(0) = 18 \]

Так как $$y''(0) > 0$$, то в точке $$x=0$$ находится минимум.

\[ y''(6) = 18 - 6(6) = 18 - 36 = -18 \]

Так как $$y''(6) < 0$$, то в точке $$x=6$$ находится максимум.

Ответ: Точка максимума находится при $$x = 6$$.