23. Найдите наибольшее значение функции y = 9x² – x³ на отрезке [2; 10].

Чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке, мы вычисляем значения функции в критических точках (если они попадают в отрезок) и на концах отрезка, а затем сравниваем их.

1. Критические точки:

Критические точки функции $$y = 9x^2 - x^3$$ находятся при $$x=0$$ и $$x=6$$.

2. Проверка попадания в отрезок [2; 10]:

• $$x = 0$$ не попадает в отрезок [2; 10].
• $$x = 6$$ попадает в отрезок [2; 10].

3. Вычисляем значения функции в критической точке (попадающей в отрезок) и на концах отрезка:

• При $$x = 2$$ (левый конец отрезка):

\[ y(2) = 9(2)^2 - (2)^3 = 9(4) - 8 = 36 - 8 = 28 \]

• При $$x = 6$$ (критическая точка):

\[ y(6) = 9(6)^2 - (6)^3 = 9(36) - 216 = 324 - 216 = 108 \]

• При $$x = 10$$ (правый конец отрезка):

\[ y(10) = 9(10)^2 - (10)^3 = 9(100) - 1000 = 900 - 1000 = -100 \]

4. Сравниваем полученные значения:

Полученные значения функции: 28, 108, -100.

Наибольшее значение среди них — 108.

Ответ: Наибольшее значение функции на отрезке [2; 10] равно 108.