34. Найдите точку минимума функции y = 2/3 x³ – 2x + 1.

Чтобы найти точку минимума, найдем первую производную, приравняем ее к нулю и решим полученное уравнение. Затем определим, какая из точек является точкой минимума.

1. Находим производную:

\[ y' = \left( \frac{2}{3}x^3 - 2x + 1 \right)' = \frac{2}{3} x 3x^2 - 2 = 2x^2 - 2 \]

2. Приравниваем производную к нулю:

\[ 2x^2 - 2 = 0 \]

\[ 2x^2 = 2 \]

\[ x^2 = 1 \]

\[ x = \pm 1 \]

Критические точки: $$x_1 = -1$$ и $$x_2 = 1$$.

3. Определяем точку минимума. Используем вторую производную.

Находим вторую производную:

\[ y'' = (2x^2 - 2)' = 4x \]

Проверяем знаки второй производной:

\[ y''(-1) = 4(-1) = -4 \]

Так как $$y''(-1) < 0$$, то в точке $$x = -1$$ находится максимум.

\[ y''(1) = 4(1) = 4 \]

Так как $$y''(1) > 0$$, то в точке $$x = 1$$ находится минимум.

Ответ: Точка минимума находится при $$x = 1$$.