24. Найдите точку максимума функции y = x³/3 – 9x – 7.

Чтобы найти точку максимума, нужно найти первую производную функции, приравнять ее к нулю и решить полученное уравнение. Затем определить, какая из точек является точкой максимума.

1. Находим производную:

\[ y' = \left( \frac{x^3}{3} - 9x - 7 \right)' = \frac{3x^2}{3} - 9 = x^2 - 9 \]

2. Приравниваем производную к нулю:

\[ x^2 - 9 = 0 \]

\[ x^2 = 9 \]

\[ x = \pm 3 \]

Критические точки: $$x_1 = -3$$ и $$x_2 = 3$$.

3. Определяем точку максимума. Воспользуемся второй производной.

Находим вторую производную:

\[ y'' = (x^2 - 9)' = 2x \]

Проверяем знаки второй производной в критических точках:

\[ y''(-3) = 2(-3) = -6 \]

Так как $$y''(-3) < 0$$, то в точке $$x = -3$$ находится максимум.

\[ y''(3) = 2(3) = 6 \]

Так как $$y''(3) > 0$$, то в точке $$x = 3$$ находится минимум.

Ответ: Точка максимума находится при $$x = -3$$.