35. Найдите наименьшее значение функции y = 2/3 x³ – 2x + 1 на отрезке [1;9].

Чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке, вычислим значения функции в критических точках, попадающих в отрезок, а также на концах отрезка, и сравним полученные значения.

1. Критическая точка:

Критическая точка функции $$y = \frac{2}{3}x^3 - 2x + 1$$ находится при $$x = 1$$ (из предыдущего задания, $$x=-1$$ не попадает в отрезок [1;9]).

2. Проверка попадания в отрезок [1; 9]:

$$x = 1$$ попадает в отрезок [1; 9] (это его левая граница).

3. Вычисляем значения функции:

• При $$x = 1$$ (левый конец отрезка и критическая точка):

\[ y(1) = \frac{2}{3}(1)^3 - 2(1) + 1 = \frac{2}{3} - 2 + 1 = \frac{2}{3} - 1 = \frac{2 - 3}{3} = -\frac{1}{3} \]

• При $$x = 9$$ (правый конец отрезка):

\[ y(9) = \frac{2}{3}(9)^3 - 2(9) + 1 = \frac{2}{3}(729) - 18 + 1 = 2(243) - 17 = 486 - 17 = 469 \]

4. Сравниваем полученные значения:

Полученные значения функции: $$-\frac{1}{3}$$, 469.

Наименьшее значение равно $$-\frac{1}{3}$$.

Ответ: Наименьшее значение функции на отрезке [1; 9] равно -1/3.