22. Найдите наименьшее значение функции y = 9x² – x³ на отрезке [-1;5].

Чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке, нужно вычислить значения функции в критических точках, которые попадают в этот отрезок, а также на концах отрезка, а затем сравнить полученные значения.

1. Критические точки:

Из предыдущих заданий мы знаем, что критические точки функции $$y = 9x^2 - x^3$$ находятся при $$x=0$$ и $$x=6$$.

2. Проверка попадания в отрезок [-1; 5]:

• $$x = 0$$ попадает в отрезок [-1; 5].
• $$x = 6$$ не попадает в отрезок [-1; 5].

3. Вычисляем значения функции в критической точке (попадающей в отрезок) и на концах отрезка:

• При $$x = -1$$ (левый конец отрезка):

\[ y(-1) = 9(-1)^2 - (-1)^3 = 9(1) - (-1) = 9 + 1 = 10 \]

• При $$x = 0$$ (критическая точка):

\[ y(0) = 9(0)^2 - (0)^3 = 0 - 0 = 0 \]

• При $$x = 5$$ (правый конец отрезка):

\[ y(5) = 9(5)^2 - (5)^3 = 9(25) - 125 = 225 - 125 = 100 \]

4. Сравниваем полученные значения:

Полученные значения функции: 10, 0, 100.

Наименьшее значение среди них — 0.

Ответ: Наименьшее значение функции на отрезке [-1; 5] равно 0.