37. Найдите наибольшее значение функции y = 3x – 2x³/3 на отрезке [0;7].

Чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке, вычислим значения функции в критических точках, попадающих в отрезок, а также на концах отрезка, и сравним полученные значения.

1. Находим производную:

\[ y' = (3x - \frac{2}{3}x^3)' = 3 - \frac{2}{3} x 3x^2 = 3 - 2x^2 \]

2. Приравниваем производную к нулю:

\[ 3 - 2x^2 = 0 \]

\[ 3 = 2x^2 \]

\[ x^2 = \frac{3}{2} \]

\[ x = \pm \sqrt{\frac{3}{2}} \]

Критические точки: $$x_1 = -\sqrt{\frac{3}{2}}$$ и $$x_2 = \sqrt{\frac{3}{2}}$$.

3. Проверка попадания в отрезок [0; 7]:

• $$x_1 = -\sqrt{\frac{3}{2}}$$ не попадает в отрезок [0; 7] (так как отрицательное).
• $$x_2 = \sqrt{\frac{3}{2}}$$. Так как $$\frac{3}{2} = 1.5$$, то $$\sqrt{1.5}$$ примерно равно 1.22. Это значение попадает в отрезок [0; 7].

4. Вычисляем значения функции:

• При $$x = 0$$ (левый конец отрезка):

\[ y(0) = 3(0) - \frac{2}{3}(0)^3 = 0 - 0 = 0 \]

• При $$x = \sqrt{\frac{3}{2}}$$ (критическая точка):

\[ y(\sqrt{\frac{3}{2}}) = 3\sqrt{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3}(\sqrt{\frac{3}{2}})^3 = 3\sqrt{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3}(\frac{3}{2}\sqrt{\frac{3}{2}}) = 3\sqrt{\frac{3}{2}} - \sqrt{\frac{3}{2}} = 2\sqrt{\frac{3}{2}} = 2\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{6}}{2} = \sqrt{6} \]

• При $$x = 7$$ (правый конец отрезка):

\[ y(7) = 3(7) - \frac{2}{3}(7)^3 = 21 - \frac{2}{3}(343) = 21 - \frac{686}{3} = \frac{63 - 686}{3} = -\frac{623}{3} \]

5. Сравниваем полученные значения:

Полученные значения функции: 0, $$\sqrt{6}$$ (примерно 2.45), $$-\frac{623}{3}$$ (примерно -207.67).

Наибольшее значение равно $$\sqrt{6}$$.

Ответ: Наибольшее значение функции на отрезке [0; 7] равно $$\sqrt{6}$$.